好题推荐（2）——矩形与对称相关（适合八、九年级）

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原题： 已知，如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B ，点 E是BC的中点.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AD＝8，CD＝6，点F是AD上的点，连接CF，把∠D沿CF折叠，使点D落在点G处．当△AFG为直角三角形时，求CF的长度．

——试题来源：2017福建省永泰县八下期中倒一

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图文解析：

（1）通过证明：∠D＝∠DAE＝∠AEC＝90°，得到四边形AECD为矩形

（2）由于AD＞CD，不论F点在哪个位置，G点均不可能落在直线AE上，所以∠FAG不可能为直角.

第一种情况：当∠AFG＝90°时，

第二种情况：当∠AGF＝90°时，

解法一：

解法二：

当然，本题也可用三角函数或相似、函数关系（建立坐标系来解）均可，但都没有这两种解法简单，这里就不再叙述！

拓广（或变式）：将第（2）问中的“AD＝8，CD＝6”改为“AD＝6，CD＝8”？

图文提示：

情形一：

情形二：

情形三：

情形四：

试试看，如何求出CF？

继续拓展：

（1）若△AFG为等腰三角形呢？

（2）若将原矩形AEDF改为“一锐角为60°的平行四边形呢？

……

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